道路可以同伦万博手机版下载变换到基本域的一段边界上

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文章关键词:万博手机版官网,拓扑代数

  【上课时间:每周二和周四上午9:50-11:20AM;地点:清华大学,近春园西楼三楼报告厅。】

  这次课程,我们简单介绍曲面基本群(一维同伦群)的理论梗概。主要概念有基本群的定义,表示,计算。然后我们介绍覆盖空间理论,特别是万有覆盖空间理论,曲线】给出了课程的视频。

  如图1 所示,曲面的四边形剖分是计算机图形学的一个基本问题,四边形网格化对于计算力学而言非常重要。通常,我们可以计算曲面在每点的主曲率方向(principle direction),这样我们在曲面上定义了一个光滑标架场(Frame Field)。标架场具有一些奇异点。例如在脐点处(ambilical point),标架无法定义。

  我们可以构造曲面的分支覆盖空间,以奇异点为分支点,然后将曲面上的初始标架场“提升”到覆盖空间上的一个矢量场。然后,我们将覆盖空间的矢量场进行分解,求得调和分量,在投影回原来曲面,得到两组光滑矢量场。矢量场的积分曲线诱导了曲面的四边形网格。具体细节可以在【2】中找到。这种方法的关键思想是覆盖空间的概念,提升的概念,和矢量场的分解。

  目前,计算机图形学领域的一个研究热点是将神经网络和曲面结合,用深度学习的方法来进行几何处理,例如对曲面进行语义分割(symantic segmentation)。传统的卷积神经网的输入是二维图像,因此我们需要将曲面转换成“几何图像”,如图3所示。我们将曲面映射到平面区域,然后在平面上重新采样,得到二维点阵。

  几何图像的一个缺陷是边界的不连续性。为了使边界光滑,我们采用分支覆盖。覆盖空间是拓扑环面,拓扑环面的覆盖空间是整个二维平面,可以作为神经网络的输入。如图4所示,大卫头曲面是拓扑球面,我们选择三个奇异点,构造4重分支覆盖,形成一个拓扑环面。拓扑环面的覆盖空间是二维平面。在【3】中,我们可以找到实现的细节。

  这里代表环路a和环路b的代数相交数。所谓代数相交数可以如下理解。如果环路a和环路b横截相交于一点q, 并且a的切向量叉积b的切向量和曲面在q点的法向量一致,则q的指标为+1,如果相反,则指标为-1。如果环路a和环路b在点q相切,则q点的指标为0. 环路a和环路b的代数相交数等于所有交点的指标之和。

  曲面上任何一条环路可以经同伦变换,使得它和典范基底只相交于基点。然后,将此环路最终分解为多个子环路的乘积,每个子环路只经过基点一次。在基本域上,每个子环路是连接两个角点的道路。道路可以同伦变换到基本域的一段边界上,由此子环路可以由及其逆生成。这证明了是基本群的生成元。因此,曲面基本群的典范表示是:

  首先,我们考虑最为简单的情形:拓扑空间为一个图(Graph),记为G(V,E),这里V是顶点集合,E是边的集合。图中任何非平庸的环路都无法缩成一个点,因此图的基本群是自由生成的,其关系式为空集。首先,我们计算G的一个生成树(Spanning Tree)T,即T是G的一个不含任何环路的子图,同时T包含所有顶点。那么GT由一些边组成,我们称之为“余边”:。万博手机版下载

  直观描述给定曲面M,我们假想曲面上长满了枯草。我们任选一个基点p,从基点处点燃枯草,火焰在曲面上逐渐蔓延。火焰的前沿在曲面上不停地拓展,两道火焰相遇而熄灭。火焰熄灭的轨迹成为曲面上的一个图,我们称之为曲面的割迹(Cut Locus),也称为曲面的割图(Cut Graph),记为G。火焰扫过的区域是一个单连通的拓扑圆盘(topological disk),我们称之为曲面的一个基本域(fundamental domain),记为。假设图G的基本群为

  算法描述问题的关键是计算割图G。曲面被三角剖分,而被表示成为三角网格,仍然记为M。

  我们将网格沿着割图G切开,就会得到基本域D。然后,我们调用图的同伦群算法,计算割图的生成元,和基本域边界的表示,分别得到的生成元和关系式。

  一般拓扑空间的基本群计算主要是基于CW-胞腔分解。所谓k维CW-胞腔,就是k维拓扑圆盘。例如0维胞腔是点,1维胞腔是线维胞腔是实心球体,等等。我们用来表示第i个k维胞腔。假设M是一个n维流形,其CW-胞腔分解可以如下递归定义:

  这里介绍的同伦群的组合算法是基于Seifert-van Kampen定理,这个定理的实质是分而治之的策略。就是将原来流形分解成子流形,分别计算每个子流形的基本群,然后将子流形的基本群拼成原来流形的基本群。

  Seifert-van Kampen定理是说并集的生成元等于生成元的并,并集的关系式等于关系式的并加上交的生成元。

  满足,如果,同时映射的限制是拓扑同胚。那么,我们说是一个覆盖映射,是底空间,是的覆盖空间。

  组合构造法假设是一个高亏格封闭曲面,固定基点,我们计算其基本群的一组典范基底,

  我们将许多基本域的拷贝沿着相应的边界逐片粘和起来,粘和过程中保证所得曲面一直是单联通的。最终我们所得的曲面被称为是原来曲面的万有覆盖空间。如图1所示,对于亏格为1的曲面,其万有覆盖空间可以配上一个平直黎曼度量,从而铺满整个欧式平面;对于亏格为2的曲面,其万有覆盖空间可以配上一个双曲度量,从而铺满整个双曲平面(欧式单位圆盘)。

  是楼上的一条道路,楼上道路的投影等于楼下的环路:,换言之,上面的图表可交换。

  我们可以将底流形上的环路提升到万有覆盖空间的道路, 然后判断这些道路是否起止于同样的点。

  假设是拓扑复杂曲面的自映射,如果存在点, 使得,那么被称为是映射的不动点。如果我们同伦变换映射,使得不动点个数减少,那么不动点个数的下界是多少?这个问题非常艰深,借用万有覆盖空间理论,我们可以给出初步答案。

  我们将映射升腾, 那么升腾并不唯一。升腾的不动点一定覆盖原映射的不动点;同时,对于原来映射的任何不动点,万博手机版下载一定存在一个升腾,这个升腾的不动点覆盖原映射的不动点。

  楼下的两个不动点等价,如果存在一个升腾,升腾的两个不动点分别覆盖这两个楼下的不动点。这样,我们将楼下的所有不动点分类。同一等价类的不动点可以经过同伦变换映射而融合。如果,等价的不动点具有相反指标,则它们融合后可以彼此相抵相消。因此,不动点个数的下限等于总指标非零的不动点等价类的个数。我们以后会详细讨论,如果对更为深入的理论有兴趣,请参阅江泽涵先生的专著《不动点类理论》。

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